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\title{高等代数二作业2}
\author{王立庆（2024级数学与应用数学1班）} 
\date{2025年3月10 日 - 16日}
%\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
5. 因式分解定理、%理解不可约多项式的概念。证明因式分解的存在性和唯一性定理。	\\ \hline
6. 重因式、%使用导数多项式计算一个多项式的重因式。证明多项式的$k$重因式是它的导数多项式的$k-1$重因式。 	\\ \hline
7. 多项式函数。%证明余数定理。理解单根和重根的含义。 	\\ \hline
\end{abstract}

\section{讲解}
\begin{enumerate}\itemsep4cm
\item  分别在有理数域、实数域和复数域上分解因式：$f(x)=x^4-4$. 

\vspace{-2cm}

\item  什么是数域 $P$ 上的不可约多项式？举例说明有理数域、实数域和复数域上的不可约多项式。

\vspace{-1cm}

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x), g(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是一个不可约多项式。设 $p(x)\mid f(x)g(x)$. 
则一定有 $p(x)\mid f(x)$ 或 $p(x)\mid g(x)$. 

\vspace{-1cm}

\item  （因式分解定理）证明：设  $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 则在 $P[x]$ 中存在不可约多项式 $p_1(x), \cdots, p_s(x)$, 使得 $f(x)=p_1(x)\cdots p_s(x)$. 这种分解在不考虑前后次序和乘以非零常数的情况下是唯一的。

\newpage

\item  将多项式  $f(x)=2x^3-x^2-4x+3$ 在实数域上分解因式，并写成标准分解式。

\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k(k\ge 1)$ 重因式，那么 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k-1$ 重因式。 
\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $p(x), f(x)\in P[x]$. 设 $p(x)$ 是不可约多项式。则 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的重因式的充分必要条件是 $p(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的公因式。

\vspace{1cm}

\item  判断多项式 $f(x)=x^4+4x^2-4x-3$ 是否有重因式。

\newpage

\item  设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 将 $f(x)$ 看作是 $P\to P$ 的一个函数。
\item  （余数定理）设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$. 设 $a\in P$. 则 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式是 $f(a)$. 
\item  证明：设 $P$ 是一个数域。设 $f(x)\in P[x]$.设 $f(x)$ 的次数为 $n$. 则在 $P$ 中最多存在 $n$ 个数 $a_i$ 使得 $f(a_i)=0$. 举例说明 $f(x)$ 在 $P$ 中的根可能少于 $n$ 个。
\item  证明 $a$ 是 $f(x)$ 的一个二重根的充分必要条件是 $f(a)=f'(a)=0$ 且 $f''(a)\neq 0$. 
\item  设 $a$ 是 $f'''(x)$ 的一个单根。证明 $a$ 是 $\frac{x-a}{2}[f'(x)+f'(a)]-f(x)+f(a)$ 的一个四重根。
\end{enumerate}

\newpage
\section{习题}
\begin{enumerate}\itemsep5cm
\item  判断多项式 $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$ 是否有重因式。
\item  设实系数多项式 $f(x)=x^3-3x^2+tx-1$ 有重根，求 $t$ 的值。
\item  设实系数多项式 $f(x)=x^3+px+q$ 有重根，求 $p,q$ 满足的条件。
\item  设 $(x-1)^2\mid Ax^4+Bx^2+1$, 求 $A,B$ 的值。
\item  证明多项式 $f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ 没有重根。
\item  证明 $a$ 是 $f(x)$ 的一个三重根的充分必要条件是 $f(a)=f'(a)=f''(a)=0$ 且 $f'''(a)\neq 0$. 

\vspace{2cm}

\item  设 $a$ 是 $f'''(x)$ 的一个 $k$ 重根。证明 $a$ 是 $g(x)=\frac{x-a}{2}[f'(x)+f'(a)]-f(x)+f(a)$ 的一个 $k+3$ 重根。
\end{enumerate}

\end{document}

